The syllogism cannot teach us anything essentially new ( ... ). It must be conceded that mathematical reasoning has of itself a sort of creative virt… - Henri Poincaré

The advance of science is not comparable to the changes of a city, where old edifices are pitilessly torn down to give place to new, but to the continuous evolution of zoologic types which develop ceaselessly and end by becoming unrecognizable to the common sight, but where an expert eye finds always traces of the prior work of the centuries past. One must not think then that the old-fashioned theories have been sterile or vain.

John Stuart Mill understood the word existence in a material and empirical sense; he meant that in defining a circle we assert that there are round things in nature.
In this form his opinion is inadmissible. Mathematics is independent of the existence of material objects. In mathematics the word exist can only have one meaning; it signifies exemption from contradiction. Thus rectified, Mill's thought becomes accurate. In defining an object, we assert that the definition involves no contradiction.

El hombre de ciencia no estudia la naturaleza porque sea útil; la estudia porque encuentra placer, y encuentra placer porque es bella. Si la naturaleza no fuera bella, no valdría la pena conocerla, ni valdría la pena vivir la vida. No hablo aquí, entendámoslo bien, de esta belleza que impresiona los sentidos, de la belleza de las cualidades y de las apariencias; no es que la desdeñe, lejos de ahí, pero no tiene nada que ver con la ciencia. Quiero hablar de esa belleza, más íntima, que proviene del orden armonioso de las partes y que sólo una inteligencia pura puede comprender. Por así decirlo es ella la que da un cuerpo, un esqueleto a las halagadoras apariencias que embellecen nuestros sentidos, y sin este soporte, la belleza de estos sueños fugitivos sería imperfecta, porque sería indecisa y huiría siempre